قيل ما ضلعه خمسة عشر من المثلّثات ، فإنّا نضعفه فيكون ثلاثين ، فيطلب عددين متتاليين مسطّحهما ثلاثون فنجده خمسة وستّة ، فنقول إن ضلعه خمسة . ( شحس ، 54 ، 10 ) أعداد مثمّنات - المثمّنات وتتألّف من جميع الأعداد المتفاضلة بستّة ستة . ( شحس ، 57 ، 13 ) أعداد مجسّمة - لنتكلّم الآن في الأعداد المجسّمة فأولها المخروطات وتعرف بالنارية ، وهي التي تبتدئ من قاعدة متّسعة ثم لا يزال ينمو حتى يبلغ طرفا حادّا تحدّه الوحدة ، فأولها التي قاعدته مثلّثة وأول ذلك الأربعة فهي أول عدد ، وهو خطّي وسطحي ومجسّم ويتألّف من تأليفات المثلّثات على تواليها تركيبا للأنقص منها على الأزيد حتى ينتهي إلى الواحد . ثم التي قاعدتها أربعة ويتولّد من تأليف المربّعات على تلك الصفة ، وكذلك التي قاعدتها مخمّسة والتي قاعدتها مسدّسة ، وكل عدد مسطّح مركّب منه يسمّى قطعا ، والذي نقص من جانبه الأول سمّي كرسيّا وإنشاؤه . وأما الذي قاعدته مثلّث فأن يضاف إلى الوحدة المثلّث الأول ويكون أربعة فهو المخروط الأول ، ثم المثلّث الثاني فيكون عشرة وهو المخروط الثاني من هذا القبيل . وأما الذي قاعدته مربّع فأوله من الواحد والمربّع الأول . وثانيه من الواحد والمربّع الثاني ، والذي قاعدته مخمّس ومسدّس وغير ذلك فعلى ذلك القياس . ( شحس ، 58 ، 1 ) أعداد مخمّسة - الأعداد المخمّسة ، وأولها الخمسة فإنها تؤلّف على هذه الصورة . وهو أول المخمّسات وضلعه اثنان ، والمخمّس الثاني وهو الذي ضلعه العدد الثاني وهو ثلاثة ، ويكون المخمّس المجتمع منه اثني عشر . . . والعدد الثالث وهو أربعة والمخمّس المجتمع منه هو الاثنان والعشرون ، والرابع وهو خمسة والمخمّس المجتمع منه خمسة وثلاثون ، والخامس أحد وخمسون ، والسادس سبعون . وترتيب أضلاعها على ترتيب الأعداد المتوالية ، وإنشاؤها من جميع الأعداد المتفاضلة ، ثلاثة ثلاثة ، مبتدأ من الواحد مثل أعداد 1 ، 4 ، 7 ، 10 ، 13 ، 16 ، 19 . فالواحد مع الأربعة خمسة وهو أول مخمّس والواحد مع الأربعة والسبعة اثني عشر وهو المخمّس الثاني ، والواحد مع الأربعة والسبعة والعشرة اثنان وعشرون وذلك هو المخمّس الثالث . ( شحس ، 56 ، 6 ) أعداد مربّعة - الأعداد المربّعة ، وهي التي عرفتها ، فهي تحدث من خطوط عددية متساوية ، عددها عدد ما في الواحد من الآحاد ، وضلوعها على ترتيب الأعداد مبتدئة من الواحد ، مثل الواحد فإنّه مربّع الواحد والأربعة فإنه